Изыскания Эйлера

Теоретические изыскания Эйлера остались незамеченными инженерами-практиками и были, отнесены к причудам великого математика, поскольку в те времена тонкостенные конструкции только ждали своего звездного часа. Однако во второй половине XIX века стальные конструкции из балок и пластин получили широкое применение. При их эксплуатации произошел ряд крупные катастроф. Результаты проведенных расследований пока­зали, что во многих случаях причиной разрушения посла жил «преждевременный» выход из строя сжатых элемен­тов при сравнительно низком уровне действующих напряжений. Оказалось, что они теряли устойчивость. О явлении потери устойчивости заговорили во весь голос. Все тут-то и вспомнили о работах Эйлера. С тех пор расчете на устойчивость конструкций обязательны для всех элементов, работающих на сжатие.

Однако нужно сказать, что в трудах ученого поли ценные результаты не нашли того четкого прикладного толкования, как это сделано сегодня.

Что же происходит со стержнем в действительности? Если бы эксперимент носил не качественный, а количественный характер (например, посередине линейки был бы установлен чувствительный датчик, соединенный самописцем), то он с самого начала зафиксировал бы поперечные перемещения. Если бы, стержень был идеально прямым, а сила приложена строго по его оси, то происходило бы просто равномерное сжатие аналогично растяжению, до тех пор пока напряжения не достигнут предельно допустимого значения для данного материала. Вот эта кажущаяся прямолинейность исходной формы стержня и создает иллюзию загадочности процесса потери устойчивости.

Однако сделанная оговорка «если бы» дает ключ объяснения явления: нельзя изготовить идеально прямой стержень, и «если бы» удалось, допустим, сделать era совершенным, то обязательно возникнет какой-то эксцентриситет в приложении нагрузки. В общем, реальные конструкции всегда имеют начальные несовершенства Таким образом, стержень с ростом нагрузки не остается прямым, вследствие того что неизбежные, отклонения по оси от прямой начинают увеличиваться, как только к нему прикладывается осевая сила. Но если стержень изготовлен достаточно тщательно, отклонения трудно заме­тить. Они становятся очень большими, когда нагрузка приближается к значению, определяемому формулой Эйлера. По достижении этой величины нагрузка какое-то время остается практически постоянной. В этот момент мы и наблюдаем изгиб стержня.

Вернемся к формуле Эйлера. Из ее можно почерп­нуть еще одну важную информацию. В числителе выра­жения для критической силы стоит произведение El, ко­личественно характеризующее, как уже известно, жест­кость на изгиб поперечного сечения стержня, и в этом факте нет никаких неожиданностей. Поскольку при сжа­тии также происходит изгиб, но чем больше жесткость, тем больше критическая сила, тем эффективнее сопро­тивляется продольному изгибу поперечное сечение. Од­нако, вводя момент инерции, мы обошли молчанием од­но очень важное его свойство. Сожмите линейку, и всегда при всех обстоятельствах она прогнется в направлении, перпендикулярном большей стороне сечения. Отсюда сле­дует очевидный вывод, что в отличие от площади момент инерции очень «чутко» реагирует на то, как «сформировано» сечение. Поэтому-то, если произвести необходимые расчеты, нетрудно убедиться, что момент инерции отно­сительно оси, перпендикулярной высоте сечения линей­ки, намного больше, чем момент инерции относительно оси, перпендикулярной ее ширине (вспомните линейку при сжатии). Получается, что момент инерции не толь­ко «следит» за особенностями сечения, но и предопреде­ляет «нормы» поведения в процессе загиба.